Hamilton's Ray Equations (Penurunan Rumus)

  • Published on
    16-Jul-2015

  • View
    100

  • Download
    2

Transcript

Chapter 8 Hamiltons Ray Equations

Okto Ivansyah (22311008) Dadi Abdurrahman (22311007)

TG 6004 Geolombang dan Medan Dalam Geofisika Teknik Geofisika ITB

Hamiltons Ray Equations8.1 Method of characteristics 8.2 Time parametrization of characteristic equations 8.3 Example: Ray equations in isotropic inhomogeneous continua Conclusion

Preliminary remarksChapter 7 kita telah memperoleh pers.Eikonal Persamaan Eikonal memberikan kita fasa magnitude slowness. Dari parameter waktu dalam persamaan karakteristik akan diperoleh persamaan Hamilton Ray

8.1 Method of Characteristics Pers Eikonal memungkinkan untuk di tranformasi kedalam sistem turunan parsial orde-1 dengan menggunakan metode karakteristik

Pers. 7.17

dimana

Pers. 7.12

(8.2)

Bentuk umum dari dimensi ke-n untuk nonlinear order-1 turunan parsial

Pada kedua kasus F(x,p(x)) adalah konstan

Subtitusi persamaan (7.17) ke persamaan (8.3)

Subtitusi persamaan (7.17) ke persamaan (8.4)

Akan menghasilkan persamaan :

Jika dF=0 dimana F dalam fungsi x saja, maka turunan parsial rantai pertama dari F adalah: .(8.2) Dengan menggunakan definisi dari pers 8.2 maka dapat dinyatakan dalam bentuk sebagai3

???????????? ??????, ??????(?????? =??????=1 3

???????????? ???????????? + ?????????????????? ??????

3

3

??????=1 ??????=1 3 3

???????????? ?????????????????? ???????????? = 0 ?????????????????? ?????????????????? ??????

???????????? ??????, ??????(?????? =??????=1

???????????? ???????????? + ?????????????????? ??????

??????=1 ??????=1

???????????? ?????? ???????????? ???????????? = 0 ?????????????????? ?????????????????? ?????????????????? ??????

Akan menghasilkan :

Selama dxi 0 dan pers digabungkan untuk tiap-tiap i

???????????? + ??????????????????

3

??????=1

???????????? ?????? ???????????? = 0, ?????????????????? ?????????????????? ??????????????????

?????? 1, 2, 3

???????????? + ??????????????????

3

??????=1

???????????? ?????????????????? = 0, ?????????????????? ??????????????????

?????? 1, 2, 3

Sedangkan dengan turunan parsial rantai ke-2 melalui pers 8.2 dapat dinyatakan

Bila Bentuk pers (8.7) ditulis dalam scalar product dua vektor menjadi : A B ..(8.8)

If the two vectors are parallel, then A . B = AB, And If A and B are perpendicular, then A . B = 0 Dengan mengikuti sifat scalar product kita dapatkan bahwa dua vektor tegak lurus terhadap yang lain dalam 4 dimensi x1x2x3pi

Penyelesaian permukaan dari fungsi zero level permukaan :

dapat ditulis sebagai

...(8.9) Kita dapatkan gradient dari vektor normal ni (8.10)Subtitusi pers (8.9) ke pers (8.10) ?????????????????? ?????????????????? ?????????????????? ?????????????????? ???????????? = ?????????????????? = , , , ????????????1 ????????????2 ????????????3 ?????????????????? ???????????? = ?????????????????? = Menjadi : ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? , , , ????????????1 ????????????2 ????????????3 ??????????????????

???????????? = ?????????????????? =

?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? ?????? ???????????? , , , ????????????1 ????????????2 ????????????3 ?????????????????? Persasmaan diatas menjadi :

Karena

?????????????????? ?????????????????? ?????????????????? ???????????? = ?????????????????? = , , , 1 ????????????1 ????????????2 ????????????3

Kemudian kita peroleh

Dengan menguji pers 8.8 dan pers 8.11 kita dapatkan bahwa A B

If the two vectors are parallel, then A . B = AB, And If A and B are perpendicular, then A . B = 0 Jadi :

Kemudian kita peroleh tangen vektor untuk penyelesaiannya menjadi : ????????????1 (??????) ???????????? = ?????? ???????????? ????????????1 ????????????2 (??????) ???????????? = ?????? ???????????? ????????????2 ????????????3 (??????) ???????????? = ?????? ???????????? ????????????3 ?????????????????? (??????) ???????????? = ?????? , ?????? 1, 2, 3 ???????????? ??????????????????

diringkas,

Dimana adalah faktor skala Dan s adalah parameter sepanjang kurva

?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ?????????????????? , ?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ??????????????????

??????, ?????? 1, 2, 3

i dan j sebagai indeks penjumlahan, dapat dinyatakan kembali : ?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ?????????????????? , ?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ??????????????????

??????, 1, 2, 3

Dengan catatan bahwa F adalah konstan sepanjang xi(s), pi(s) dan s parameter bebas, Maka :

?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ?????????????????? ???????????? (??????, ??????) = ????????????3

dan

?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ??????????????????

??????=1

???????????? ???????????? ???????????? ???????????? ?????? ?????? =0 ?????????????????? ?????????????????? ?????????????????? ??????????????????

Akan menghasilkan :

Untuk menghitung faktor skala pada pers 8.12 kita berikan F=p2v2(x,p) dan Skala faktor = 1 : ?????????????????? ???????????? ???????????? ?????????????????? ???????????? 2 2 = = 2 ???????????? ?????? + ?????? ?????? , ?????? 1, 2, 3 = ?????? ???????????? ?????????????????? ?????????????????? ???????????? ?????????????????? ?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ?????????????????? Dapat ditulis : ?????????????????? ???????????? ???????????? 2 = ?????? = 2?????? ?????? , ???????????? ?????????????????? ??????????????????

?????? 1, 2, 3

Dan jika diberikan ;?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ?????????????????? ?????????????????? ???????????? = ?????? ???????????? ?????????????????? ?????????????????? ???????????? 1 ???????????? = = 2?????? ???????????? + 3 ???????????? ?????????????????? ?????? ?????????????????? ?????????????????? ???????????? 1 ???????????? = ?????? = 2?????? 3 , ???????????? ?????????????????? ?????? ??????????????????

,

?????? 1, 2, 3

?????? 1, 2, 3

Dan dapat ditulis :

Dari bagian ke dua persamaan pada keduanya diambil maka dapat diperoleh faktor skala; adalah ?????????????????? ???????????? ???????????? = = 2 ???????????? ?????? 2 + ??????2 ?????? ???????????? ?????????????????? ?????????????????? dan ?????????????????? ???????????? 1 ???????????? = = 2?????? ???????????? + 3 ???????????? ?????????????????? ?????? ?????????????????? ??????2 ?????? ???????????? 1 ???????????? = ?????? 3 ?????????????????? ?????? ?????????????????? ??????2 ?????? , ?????? 1, 2, 3 , ?????? 1, 2, 3

???????????? ??????2 ?????? ?????????????????? ?????? = = = ??????2 ?????? ?????? 3 = ??????2 ?????? 4 1 1 ?????? 3 3 ???????????? ?????? ??????????????????

Sehingga :

Subtitusi ?????????????????? ???????????? 1 ???????????? = = 2?????? ???????????? + 3 ???????????? ?????????????????? ?????? ?????????????????? , , ?????? 1, 2, 3 ?????? 1, 2, 3 ?????? 1, 2, 3

?????????????????? ???????????? 1 ???????????? = = 2??????2 ?????? 4 ???????????? + 3 ???????????? ?????????????????? ?????? ??????????????????

?????????????????? ???????????? 1 ???????????? ???????????? 2 4 2 4 2 = = 2?????? ?????? ???????????? + 3 = 2 ???????????? ?????? ?????? + ?????? ?????? ???????????? ?????????????????? ?????? ?????????????????? ?????????????????? Sehingga akan menghasilkan :

,

Recommended

View more >